Factorizacion de una Suma o Diferencia de Cubos Perfectos
La factorización de una suma o diferencia de cubos perfectos es una técnica algebraica para expresar una expresión algebraica como el producto de dos binomios. Esta técnica se utiliza a menudo para resolver ecuaciones y simplificar expresiones.
Sumas de Cubos Perfectos
La factorización de una suma de cubos perfectos viene dada por la siguiente fórmula:
$$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 – ab + b^2)$$
Por ejemplo, factorizar $$8x^3 + 27y^3$$:
$$8x^3 + 27y^3 = (2x)^3 + (3y)^3$$ $$= (2x + 3y)[(2x)^2 – (2x)(3y) + (3y)^2]$$ $$= (2x + 3y)(4x^2 – 6xy + 9y^2)$$
Diferencias de Cubos Perfectos
La factorización de una diferencia de cubos perfectos viene dada por la siguiente fórmula:
$$a^3 – b^3 = (a – b)(a^2 + ab + b^2)$$
Por ejemplo, factorizar $$64x^3 – 27y^3$$:
$$64x^3 – 27y^3 = (4x)^3 – (3y)^3$$ $$= (4x – 3y)[(4x)^2 + (4x)(3y) + (3y)^2]$$ $$= (4x – 3y)(16x^2 + 12xy + 9y^2)$$
Aplicaciones de la Factorización de Cubos Perfectos
La factorización de cubos perfectos tiene muchas aplicaciones en matemáticas, incluyendo:
- Resolver ecuaciones
- Simplificar expresiones
- Encontrar los ceros de una función
- Calcular integrales
Problemas con Soluciones
- Factorizar $$x^3 + 8y^3$$.
- Factorizar $$27x^3 – 8y^3$$.
- Resolver la ecuación $$x^3 + 8y^3 = 0$$.
- Encontrar los ceros de la función $$f(x) = x^3 – 27$$.
Soluciones:
- $$x^3 + 8y^3 = (x + 2y)(x^2 – 2xy + 4y^2)$$
- $$27x^3 – 8y^3 = (3x – 2y)(9x^2 + 6xy + 4y^2)$$
- $$x^3 + 8y^3 = 0$$ $x^3 = -8y^3$ $x = -2y$ Por lo tanto, la solución es $x = -2y$.
- Para encontrar los ceros de la función $$f(x) = x^3 – 27$$, resolvemos la ecuación $$f(x) = 0$$. $x^3 – 27 = 0$ $x^3 = 27$ $x = 3$ Por lo tanto, el único cero de la función $$f(x) = x^3 – 27$$ es $x = 3$.
La factorización de cubos perfectos es una técnica algebraica útil que se puede utilizar para resolver ecuaciones, simplificar expresiones, encontrar los ceros de una función y calcular integrales.
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