La factorización de la suma o diferencia de cubos es una técnica matemática que se utiliza para descomponer una expresión polinomial en sus factores. Esto es útil para simplificar expresiones, resolver ecuaciones y realizar otras operaciones matemáticas.
Cómo factorizar la suma o diferencia de cubos
Para factorizar la suma o diferencia de cubos, se utilizan las siguientes fórmulas:
- Suma de cubos: \(a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 – ab + b^2)\)
- Diferencia de cubos: \(a^3 – b^3 = (a – b)(a^2 + ab + b^2)\)
Ejemplos
- Factorizar \(x^3 + 8y^3\): $$x^3 + 8y^3 = (x + 2y)(x^2 – 2xy + 4y^2)$$
- Factorizar \(27x^3 – y^3\): $$27x^3 – y^3 = (3x – y)(9x^2 + 3xy + y^2)$$
- Factorizar \(8a^3 + 125b^3\): $$8a^3 + 125b^3 = (2a + 5b)(4a^2 – 10ab + 25b^2)$$
- Factorizar \(64x^3 – 27y^3\): $$64x^3 – 27y^3 = (4x – 3y)(16x^2 + 12xy + 9y^2)$$
Problemas
- Resolver la ecuación \(x^3 + 8y^3 = 0\).
Solución:
$$x^3 + 8y^3 = 0$$ $$(x + 2y)(x^2 – 2xy + 4y^2) = 0$$ $$x + 2y = 0 \quad \text{o} \quad x^2 – 2xy + 4y^2 = 0$$ $$x = -2y \quad \text{o} \quad x = y \pm i\sqrt{3}y$$ Factorizar \(27x^3 – y^3\).
Solución:
$$27x^3 – y^3 = (3x – y)(9x^2 + 3xy + y^2)$$
La factorización de la suma o diferencia de cubos es una técnica matemática versátil que se puede utilizar para resolver una variedad de problemas matemáticos. Al comprender esta técnica, puede simplificar expresiones, resolver ecuaciones y realizar otras operaciones matemáticas de manera más eficiente.
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