Diferencia Entre Metodo De Gauss Y Gauss Jordan

Diferencia Entre Metodo De Gauss Y Gauss Jordan

El método de Gauss y el método de Gauss-Jordan son dos métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Ambos métodos son muy similares, pero hay algunas diferencias clave entre ellos.

Método de Gauss

El método de Gauss es un método iterativo que utiliza la eliminación gaussiana para resolver sistemas de ecuaciones lineales. La eliminación gaussiana consiste en utilizar una serie de transformaciones elementales para reducir el sistema de ecuaciones a un sistema triangular superior o inferior.

Ejemplo

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones utilizando el método de Gauss:

$$ \begin{align*} x + y + z &= 6\\ 2x + 3y + z &= 11\\ x + 2y + 3z &= 10 \end{align*} $$

Primero, utilizamos la eliminación gaussiana para reducir el sistema a un sistema triangular superior:

$$ \begin{align*} x + y + z &= 6\\ y + z &= 5\\ z &= 1 \end{align*} $$

Luego, sustituimos el valor de z en las dos primeras ecuaciones para resolver para x e y:

$$ \begin{align*} x + y + 1 &= 6\\ y + 1 &= 5 \end{align*} $$

$$ \begin{align*} x + y &= 5\\ y &= 4 \end{align*} $$

Por lo tanto, la solución al sistema de ecuaciones es x = 1, y = 4 y z = 1.

Método de Gauss-Jordan

El método de Gauss-Jordan es una extensión del método de Gauss. El método de Gauss-Jordan utiliza la eliminación gaussiana para reducir el sistema de ecuaciones a una matriz identidad. Una matriz identidad es una matriz cuadrada con 1 en la diagonal principal y 0 en todas las demás posiciones.

Ejemplo

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones utilizando el método de Gauss-Jordan:

$$ \begin{align*} x + y + z &= 6\\ 2x + 3y + z &= 11\\ x + 2y + 3z &= 10 \end{align*} $$

Primero, utilizamos la eliminación gaussiana para reducir el sistema a una matriz identidad:

$$ \begin{align*} 1 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0 & 4\\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{align*} $$

Luego, leemos la solución al sistema de ecuaciones en la última columna de la matriz identidad:

$$ \begin{align*} x &= 1\\ y &= 4\\ z &= 1 \end{align*} $$

Por lo tanto, la solución al sistema de ecuaciones es x = 1, y = 4 y z = 1.

Diferencias clave entre el método de Gauss y el método de Gauss-Jordan

Las siguientes son las principales diferencias entre el método de Gauss y el método de Gauss-Jordan:

• El método de Gauss reduce el sistema de ecuaciones a un sistema triangular superior o inferior, mientras que el método de Gauss-Jordan lo reduce a una matriz identidad.
• El método de Gauss es un método iterativo, mientras que el método de Gauss-Jordan es un método directo.
• El método de Gauss es más eficiente para resolver sistemas de ecuaciones con un número pequeño de variables, mientras que el método de Gauss-Jordan es más eficiente para resolver sistemas de ecuaciones con un número grande de variables.

Conclusión

El método de Gauss y el método de Gauss-Jordan son dos métodos poderosos para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Ambos métodos tienen sus propias ventajas y desventajas. El método de Gauss es más eficiente para resolver sistemas de ecuaciones con un número pequeño de variables, mientras que el método de Gauss-Jordan es más eficiente para resolver sistemas de ecuaciones con un número grande de variables.

Diferencia Entre Metodo De Gauss Y Gauss Jordan

Método Gauss reduce a triangular, Gauss-Jordan reduce a identidad.

• Gauss iterativo, Gauss-Jordan directo.

Gauss eficiente para pocas variables, Gauss-Jordan para muchas variables.

Gauss iterativo, Gauss-Jordan directo.

El método de Gauss es un método iterativo, lo que significa que utiliza un proceso de aproximaciones sucesivas para encontrar la solución a un sistema de ecuaciones lineales. En cada iteración, el método de Gauss utiliza la eliminación gaussiana para reducir el sistema de ecuaciones a un sistema triangular superior o inferior. Luego, el método de Gauss utiliza la sustitución hacia atrás para resolver el sistema triangular superior o inferior.

El método de Gauss-Jordan es un método directo, lo que significa que encuentra la solución a un sistema de ecuaciones lineales en un solo paso. El método de Gauss-Jordan utiliza la eliminación gaussiana para reducir el sistema de ecuaciones a una matriz identidad. Una matriz identidad es una matriz cuadrada con 1 en la diagonal principal y 0 en todas las demás posiciones.

La siguiente tabla resume las principales diferencias entre el método de Gauss y el método de Gauss-Jordan:

| Característica | Método de Gauss | Método de Gauss-Jordan | |—|—|—| | Tipo de método | Iterativo | Directo | | Número de pasos | Múltiples | Uno | | Forma final del sistema | Sistema triangular superior o inferior | Matriz identidad | | Eficiencia | Más eficiente para sistemas de ecuaciones con un número pequeño de variables | Más eficiente para sistemas de ecuaciones con un número grande de variables |

En general, el método de Gauss es más fácil de entender y aplicar que el método de Gauss-Jordan. Sin embargo, el método de Gauss-Jordan es más eficiente para resolver sistemas de ecuaciones con un número grande de variables.

Ejemplo

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones utilizando el método de Gauss:

$$ \begin{align*} x + y + z &= 6\\ 2x + 3y + z &= 11\\ x + 2y + 3z &= 10 \end{align*} $$

Primero, utilizamos la eliminación gaussiana para reducir el sistema a un sistema triangular superior:

$$ \begin{align*} x + y + z &= 6\\ y + z &= 5\\ z &= 1 \end{align*} $$

Luego, sustituimos el valor de z en las dos primeras ecuaciones para resolver para x e y:

$$ \begin{align*} x + y + 1 &= 6\\ y + 1 &= 5 \end{align*} $$

$$ \begin{align*} x + y &= 5\\ y &= 4 \end{align*} $$

Por lo tanto, la solución al sistema de ecuaciones es x = 1, y = 4 y z = 1.

Ahora, resolveremos el mismo sistema de ecuaciones utilizando el método de Gauss-Jordan:

$$ \begin{align*} x + y + z &= 6\\ 2x + 3y + z &= 11\\ x + 2y + 3z &= 10 \end{align*} $$

Primero, utilizamos la eliminación gaussiana para reducir el sistema a una matriz identidad:

$$ \begin{align*} 1 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0 & 4\\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{align*} $$

Luego, leemos la solución al sistema de ecuaciones en la última columna de la matriz identidad:

$$ \begin{align*} x &= 1\\ y &= 4\\ z &= 1 \end{align*} $$

Por lo tanto, la solución al sistema de ecuaciones es x = 1, y = 4 y z = 1.

Como podemos ver, el método de Gauss-Jordan es más eficiente para resolver este sistema de ecuaciones que el método de Gauss.