Identidades De Suma Y Diferencia De Dos Angulos

Identidades de Suma y Diferencia de Dos Ángulos

¿Has escuchado sobre las identidades de suma y diferencia de dos ángulos? Son formulas trigonométricas que te permiten transformar expresiones trigonométricas de suma o resta de dos ángulos en expresiones que involucran una sola función trigonométrica.

La Identidad de Suma de Dos Ángulos

La identidad de suma de dos ángulos para el seno es:

sen(A + B) = sen(A)cos(B) + cos(A)sen(B)

Esta identidad te permite encontrar el seno de la suma de dos ángulos conociendo los senos y cosenos de los ángulos individuales.

La Identidad de Diferencia de Dos Ángulos

La identidad de diferencia de dos ángulos para el seno es:

sen(A – B) = sen(A)cos(B) – cos(A)sen(B)

Esta identidad te permite encontrar el seno de la diferencia de dos ángulos conociendo los senos y cosenos de los ángulos individuales.

La Identidad de Suma de Dos Ángulos para el Coseno

La identidad de suma de dos ángulos para el coseno es:

cos(A + B) = cos(A)cos(B) – sen(A)sen(B)

Esta identidad te permite encontrar el coseno de la suma de dos ángulos conociendo los cosenos y senos de los ángulos individuales.

La Identidad de Diferencia de Dos Ángulos para el Coseno

La identidad de diferencia de dos ángulos para el coseno es:

cos(A – B) = cos(A)cos(B) + sen(A)sen(B)

Esta identidad te permite encontrar el coseno de la diferencia de dos ángulos conociendo los cosenos y senos de los ángulos individuales.

Ejemplos

Aquí hay algunos ejemplos de cómo usar las identidades de suma y diferencia de dos ángulos:

• Encuentra el seno de 45° + 30°.
• Encuentra el coseno de 60° – 30°.
• Simplifica la expresión sen(x + y)cos(x – y).
• Prueba la identidad cos(A + B) = cos(A)cos(B) – sen(A)sen(B).

Las identidades de suma y diferencia de dos ángulos son herramientas poderosas que puedes usar para resolver una variedad de problemas trigonométricos. ¡Asegúrate de dominar estas identidades para tener éxito en trigonometría!

Identidades De Suma Y Diferencia De Dos Angulos

Para resolver problemas trigonométricos.

• Simplifican expresiones.
• Encuentran ángulos.
• Resuelven ecuaciones.

¡Úsalas para tener éxito en trigonometría!

Simplifican expresiones.

Las identidades de suma y diferencia de dos ángulos son útiles para simplificar expresiones trigonométricas. Esto se debe a que permiten expresar el seno, coseno y tangente de la suma o diferencia de dos ángulos en términos de las funciones trigonométricas de los ángulos individuales.

Por ejemplo, consideremos la expresión sen(x + y). Usando la identidad de suma para el seno, podemos escribir:

sen(x + y) = sen(x)cos(y) + cos(x)sen(y)

Esta expresión es mucho más simple que la expresión original, ya que ahora solo contiene funciones trigonométricas de los ángulos individuales x e y. De manera similar, podemos usar las identidades de suma y diferencia para simplificar expresiones que involucran el coseno y la tangente de la suma o diferencia de dos ángulos.

Aquí hay otro ejemplo de cómo las identidades de suma y diferencia de dos ángulos pueden usarse para simplificar expresiones:

Simplifica la expresión cos(x – y) – sen(x + y).

Usando las identidades de diferencia para el coseno y la suma para el seno, podemos escribir:

cos(x – y) – sen(x + y) = cos(x)cos(y) + sen(x)sen(y) – (sen(x)cos(y) + cos(x)sen(y))

Combinando términos similares, obtenemos:

cos(x – y) – sen(x + y) = cos(x)cos(y) – sen(x)cos(y) + sen(x)sen(y) – cos(x)sen(y)

Esta expresión es mucho más simple que la expresión original, y ahora solo contiene funciones trigonométricas de los ángulos individuales x e y.

Las identidades de suma y diferencia de dos ángulos son una poderosa herramienta que se puede usar para simplificar expresiones trigonométricas. Esto las hace muy útiles para resolver una variedad de problemas trigonométricos.

Encuentran \u00e1ngulos.

Las identidades de suma y diferencia de dos \u00e1ngulos también se pueden usar para encontrar \u00e1ngulos.

• Ángulos agudos
  Si conocemos el seno y el coseno de un \u00e1 APPLIEDlo, podemos usar las identidades de suma y diferencia para encontrar su \u00e1ngulo complementario. Por ejemplo, si conocemos el seno y el coseno de 30\u00b0, podemos usar la identidad de suma para el seno para encontrar el seno de 60\u00b0:

  sen(30\u00b0 + 60\u00b0) = sen(30\u00b0)cos(60\u00b0) + cos(30\u00b0)sen(60\u00b0)

  Como sen(30\u00b0) = 1/2 y cos(30\u00b0) = \u221a3/2, sustituyendo obtenemos:

  sen(90\u00b0) = (1/2)(\u221a3/2) + (\u221a3/2)(1/2) = \u221a3/2

  Por lo tanto, el seno de 60\u00b0 es \u221a3/2. Como el seno de un \u00e1ngulo agudo es siempre positivo, sabemos que 60\u00b0 es un \u00e1ngulo agudo.

• \u00c1ngulos obtusos
  Si conocemos el seno y el coseno de un \u00e1ngulo, podemos usar las identidades de diferencia para encontrar su \u00e1ngulo complementario. Por ejemplo, si conocemos el seno y el coseno de 30\u00b0, podemos usar la identidad de diferencia para el seno para encontrar el seno de 210\u00b0:

  sen(30\u00b0 – 210\u00b0) = sen(30\u00b0)cos(210\u00b0) – cos(30\u00b0)sen(210\u00b0)

  Como sen(30\u00b0) = 1/2 y cos(30\u00b0) = \u221a3/2, sustituyendo obtenemos:

  sen(180\u00b0 – 30\u00b0) = (1/2)(-\u221a3/2) – (\u221a3/2)(1/2) = -\u221a3/2

  Por lo tanto, el seno de 210\u00b0 es -\u221a3/2. Como el seno de un \u00e1ngulo obtuso es siempre negativo, sabemos que 210\u00b0 es un \u00e1ngulo obtuso.

Las identidades de suma y diferencia de dos \u00e1ngulos son una poderosa herramienta que se puede usar para encontrar \u00e1ngulos. Esto las hace muy útiles para resolver una variedad de problemas trigonom\u00e9tricos.

Resuelven ecuaciones.

Las identidades de suma y diferencia de dos ángulos también se pueden usar para resolver ecuaciones trigonométricas. Por ejemplo, consideremos la ecuación:

sen(x + y) = 1/2

Podemos usar la identidad de suma para el seno para reescribir esta ecuación como:

sen(x)cos(y) + cos(x)sen(y) = 1/2

Esta ecuación es más fácil de resolver que la ecuación original, ya que ahora solo contiene funciones trigonométricas de los ángulos individuales x e y. Podemos usar técnicas algebraicas para resolver esta ecuación para x o y.

Aquí hay otro ejemplo de cómo las identidades de suma y diferencia de dos ángulos se pueden usar para resolver ecuaciones:

Encuentra todos los valores de x en el intervalo [0, 2\u00b0] que satisfagan la ecuación:

cos(2x – 30\u00b0) = 0

Podemos usar la identidad de diferencia para el coseno para reescribir esta ecuación como:

cos(2x)cos(30\u00b0) + sen(2x)sen(30\u00b0) = 0

Como cos(30\u00b0) = \u221a3/2 y sen(30\u00b0) = 1/2, sustituyendo obtenemos:

cos(2x)(\u221a3/2) + sen(2x)(1/2) = 0

Resolviendo esta ecuación para cos(2x), obtenemos:

cos(2x) = -1/2

Esta ecuación tiene dos soluciones en el intervalo [0, 2\u00b0]:

2x = 240\u00b0 + 360\u00b0n

2x = 120\u00b0 + 360\u00b0n

Resolviendo estas ecuaciones para x, obtenemos:

x = 120\u00b0 + 180\u00b0n

x = 60\u00b0 + 180\u00b0n

Por lo tanto, los valores de x en el intervalo [0, 2\u00b0] que satisfacen la ecuación cos(2x – 30\u00b0) = 0 son x = 60\u00b0 y x = 120\u00b0.

Las identidades de suma y diferencia de dos ángulos son una poderosa herramienta que se puede usar para resolver ecuaciones trigonométricas. Esto las hace muy útiles para resolver una variedad de problemas trigonométricos.